Legnagyobb maradékok módszere

Feltűnhet, hogy az alacsonyabb kvóta egy nagyobb pártnak kedvezett egy kisebb kárára. Vajon ez mindig így van, vagy csak véletlenül jött ki? Melyik az "arányosabb" eredmény?

Még egy kérdés (amire a következő részben kiderül a válasz): mindkét esetben 7 mandátumot osztottunk ki, de a második kicsit úgy nézett ki, mintha azt tettettük volna, hogy 8-at fogunk elosztani. 8 mandátumra ugyanis az egyszerű kvóta itt 125 lenne. A 8. mandátumot a legnagyobb maradékok elve szerint itt a Kék párt kapná. Látunk-e ezzel valami problémát?

Előnyök és Problémák

Aránytalanság minimalizálása

A legnagyobb maradékok módszere (egyszerű kvótával) kifejezetten logikusnak tűnhet, hiszen az abszolút aránytalanságot minimalizálja minden helyzetben. Az egyszerű kvótával való osztás ugyanis megmondja, hogy mennyi lenne a pontosan arányos eredmény, és ehhez képest a legnagyobb maradékok után kiadott mandátummal lehet minimalizálni az eltérést. Így a módszer minimalizálja a Loosemore-Hanby és a Gallagher index szerinti aránytalanságot.

Az aránytalanságnak viszont nem feltétlenül ez a legjobb értelmezése. Vegyük a fenti példát, ahol a 195 szavazatot szerző és a 60 szavazatot szerző párt is ugyanúgy 1-1 mandátumot szerez, pedig a 195 az mégiscsak több, mint 3-szor annyi. A 195 szavazat egészre kerekítés nélkül 1,37 mandátumot jelentene, míg a 60 pedig 0,42-t. Ha az a kérdés, hogy az első pártnak adjunk-e egy második mandátumot, vagy a másodiknak adjunk egyet helyette, akkor az első pártnál 0,37 helyett 0,63 mandátum lesz az eltérés a tökéletes arányosságtól, a másodiknál pedig 0,42 helyett 0,58. A legnagyobb maradékok módszere szerint így ha valamelyiknek, akkor már inkább a második pártnak fair adni a mandátumot. De biztos helyes ez? Ha a 0,42 mandátumot érdemlő pártnak felfelé kerekítve 1-et adunk, ezzel +138%-al felülreprezentáljuk, több, mint kétszer annyi mandátumot adunk neki, mind amire pontosan arányosan jogosult lenne. Ezzel szemben ha az a pontosan 1,37 mandátumra jogosult pártnak 2-t adunk, akkor ezzel +46%-ot kap, azaz kevesebb, mint másfélszeres a tévedés a kerekítés miatt. A relatív aránytalanság nézőpontjából így indokoltabb a nagyobb pártnak adni a maradékmandátumot, hiszen ez kevésbé növelné az eltérést. Ezt teszi ebben az esetben például a Sainte-Lague módszer (ami nem kvótaalapú). Egy módszer vagy relatív, vagy abszolút aránytalanságot minimalizálhat, de olyan nincsen, hogy egy módszer minden esetben mind a kettőt minimalizálja, mert a kettő (mint a példában) néha ellentmond.

Kvóta szabály

A kvóta + legnagyobb maradék módszernek előnyének tekinthetjük, hogy (definíció szerint) követi az ún. kvóta-szabályt. A kvóta szabály szerint egy párt nem kaphat több mandátumot, mint az egyszerű kvóta szerint számított pontosan arányos jussa felfelé kerekítve, és nem kaphat kevesebbet, mint a ugyanez lefelé kerekítve. Azaz, ha egy párt pontosan 4,95 mandátumra lenne jogosult, akkor vagy 4-et kap, vagy 5-öt. A kvóta szabály szerint 6-ot nem kaphat, hiszen ezzel "átugorná" az 5-öt. Az egyszerű kvóta + legnagyobb maradékok módszere esetén nem nehéz belátni, hogy ezt mindig teljesíti a módszer, hiszen a lényege, hogy előtt lefelé kerekít, majd az 1-nél mindig kisebb maradékok szerint max. 1-1 mandátumot oszt ki még egyes pártoknak.

Alabama paradoxon és társai

Az úgynevezett Alabama-paradoxonra látunk példát, ha a a mandátumok számát növeljük, de egyesek ennek ellenére mandátumokat veszítenek. Ezt láthatjuk a fenti példában, ha 7 mandátum helyett 8-at akarunk kiosztani egyszerű kvótával. 8 mandátumra az egyszerű kvóta gyakorlatilag annyi, mint 7 mandátumra a Droop kvóta (a +1 miatt...). Így látjuk, hogy míg 7 mandátumnál az egyik maradékmandátumot a lila párt szerzi meg, Droop-kvótával már nem lenne benne az első 7 kiosztott mandátumban, sőt, ha ugyanezzel a kvótával már ki akarjuk osztani a 8-ik mandátumot, azt se a lila, hanem a kék párt kapná. Ráadásul, ha újraszámítjuk az egyszerű kvótát, még 9 mandátumnál se "szerezné vissza" a lila azt a mandátumát, ami elvileg 7-nél már járt neki. (ezt ház-monotonitási hibának is nevezzük: house-monotonicity)

Ez komoly igazságossági problémát vet fel: hogy lehet az, hogy egy párt 7 mandátum esetén jogosult egy mandátumra, de ugyanolyan szavazatarányok mentén 8 vagy 9 mandátum esetén nem?  A válasz, hogy pontosan a legnagyobb maradékok miatt. Ha csak a kvóta után adnánk ki mandátumokat, akkor a mandátumszám növelésével a kvóta csökkenne, egyik párt se veszíthetne mandátumokat. Azonban amelyik párt adott mandátumszám mellett maradékmandátumra jogosult, a kvóta átszámításával, a maradékok átrendeződése miatt már nem feltétlenül lesz jogosult maradékmandátumra.

Nem az Alabama-paradoxon az egyetlen problematikus jelenség, hanem ezzel szoros összefüggésben egy mélyebb (nehezebben megoldható) probléma is van. Megint a fenti példában, ha minden más változatlan, de a Kék párt 15%-kal, azaz 195ről 225-re növeli a szavazatszámát, míg a Lila párt 25%-kal (azaz 60-ról 75-re), a Kék párt nyer egy mandátumot, de úgy, hogy a Lilától veszi el! Vagyis egy párt veszíthet mandátumot egy másik párt javára úgy, hogy a valójában a másik párthoz képest nőtt! Ez az ún. population paradox, és valójában ez a kvóta-szabály "ára". Fix mandátumszámra ugyanis nem lehet egyszerre teljesíteni a kvóta szabályt, és garantálni, hogy ilyen anomália ne lépjen fel. Ezzel szemben az Alabama-paradoxon és a kvóta-szabály nem összeegyeztethetetlenek, vannak olyan módszer, ami mindkettőt kikerüli. (A lényeg itt tulajdonképpen, hogy kvótán felül legnagyobb maradékok elve helyett osztó módszerrel osztjuk ki a mandátumokat, azonban tartjuk a kvóta-szabály által meghatározott plafont/padlót.)

Többségből kisebbség?

A legnagyobb maradék módszerénél előfordulhat, hogy egy párt a szavazatok között abszolút többséget (50%+) szerez, de nem szerzi meg a mandátumok abszolút többségét. A Droop-kvóta ennek az esélyét jelentősen csökkenti, de az arányosság rovására. A páros mandátumszámok valószínűbbé teszik ezt a helyzetet, hiszen a 51%-49% eredmény esetén legtöbb arányos módszer 50%-ra kerekítene lefelé, ha nincs elég mandátum ahhoz, hogy az 51%-ot fölfelé kerekítve arányosabb eredményt lehessen kihozni. Néhány ország ilyen esetre egy külön kiegészítő szabályt (ún. majority assurance clause, de akár nevezhetnénk győzteskompenzációnak is..) használ, de ez nem csak LM módszerek, hanem még akár D'Hondt esetén is létezhet (Hollandia).

A gyakorlatban ennek azért nincs nagy jelentősége, mert legtöbb ország választókerületeken belül alkalmaz valamilyen arányos formulát, míg a "többségi anomália" elkerülése országos szinten lehet fontos. A választókerületek léte maga azonban sokkal valószínűbbé teszi ezt a problémát, mint a formula, így országos szinten ígyis-úgyis szükség lehet ilyen formulára. A másik ok, amiért ennek tipikusan nincs jelentősége: arányos képviselet alatt normál esetben eleve valószínűtlen, hogy egy pártnak abszolút többsége lenne. Még valószínűtlenebb, hogy olyan szoros lenne az eredmény, hogy ez számítson. Végül, ha nagyon szoros is (pl. 50,01%) az eredmény, ilyenkor a legkisebb pártokra leadott szavazatok (jogi vagy matematikai küszöb miatti) "elveszése" miatt szinte garantált, hogy nem áll elő ilyen probléma. (Ha igen, az szinte biztosan a választókerületek miatt lesz)